Dimension et formule de Grassmann en maths sup (MPSI) : cours et méthodes

Soit \((v_1,\dots,v_p)\) une famille de vecteurs de \(E\).

• Elle est libre quand aucune combinaison à coefficients non tous nuls ne produit le vecteur nul : \(\lambda_1 v_1+\dots+\lambda_p v_p=0\) entraîne \(\lambda_1=\dots=\lambda_p=0\).
• Elle est liée si elle n’est pas libre, c’est-à-dire s’il existe des scalaires non tous nuls qui annulent la combinaison.
• Elle est génératrice de \(E\) si tout vecteur de \(E\) est combinaison linéaire des \(v_i\), autrement dit si \(\mathrm{Vect}(v_1,\dots,v_p)=E\).

• Toute famille contenant le vecteur nul est liée.
• Deux vecteurs forment une famille liée exactement quand l’un est multiple de l’autre.
• Retirer des vecteurs à une famille libre la laisse libre ; ajouter des vecteurs à une famille génératrice la laisse génératrice.
• Si \((v_1,\dots,v_p)\) est libre et si \(w\notin\mathrm{Vect}(v_1,\dots,v_p)\), alors \((v_1,\dots,v_p,w)\) est encore libre.

Démontrons le dernier point, qui est le plus utile. Supposons \(\lambda_1 v_1+\dots+\lambda_p v_p+\mu w=0\). Si \(\mu\neq 0\), alors \(w=-\mu^{-1}(\lambda_1v_1+\dots+\lambda_pv_p)\) appartient à \(\mathrm{Vect}(v_1,\dots,v_p)\), ce qui est exclu. Donc \(\mu=0\). Ensuite, la relation devient une combinaison nulle des \(v_i\). Ainsi, par liberté, tous les \(\lambda_i\) sont nuls.

Dans \(\mathbb{R}^3\), considérons \(u=(1,-1,2)\), \(v=(3,0,1)\) et \(w=(-1,-2,3)\). On cherche \((a,b,c)\) tels que \(au+bv+cw=0\). Le système s’écrit

\[\begin{cases} a+3b-c=0\\ -a-2c=0\\ 2a+b+3c=0\end{cases}\]

La deuxième ligne donne \(a=-2c\). Ensuite, la première donne \(3b=c+2c\), donc \(b=c\). Enfin, la troisième ligne vaut \(-4c+c+3c=0\) : elle est toujours vraie. Par conséquent, \(c=1\) fournit la solution non triviale \((-2,1,1)\). Ainsi la famille est liée et \(w=2u-v\).

Considérons des polynômes non nuls \(P_0,\dots,P_n\) de \(\mathbb{K}[X]\), aux degrés tous différents. Ils forment alors une famille libre. En particulier, si \(\deg P_k=k\) pour tout \(k\in\{0,\dots,n\}\), la famille \((P_0,\dots,P_n)\) est une base de \(\mathbb{K}_n[X]\).

Quitte à renuméroter, supposons \(\deg P_0<\deg P_1<\dots<\deg P_n\). Soit une relation \(\lambda_0P_0+\dots+\lambda_nP_n=0\). Raisonnons par l’absurde et appelons \(m\) l’indice maximal pour lequel \(\lambda_m\neq0\). Le terme \(\lambda_mP_m\) domine alors en degré chacun des autres termes. Donc la somme a pour degré \(\deg P_m\), et elle n’est pas nulle : contradiction. Ainsi la famille est libre. Pour la seconde affirmation, nous utiliserons au paragraphe 3 que \(\dim \mathbb{K}_n[X]=n+1\).

Posons \(P_0=2\), \(P_1=1+X\), \(P_2=X+X^2\) et \(P_3=X^2+X^3\). Les degrés valent \(0,1,2,3\), donc la famille est une base de \(\mathbb{R}_3[X]\). Cherchons les coordonnées de \(X^3\). D’abord \(X^3=P_3-X^2\). Ensuite \(X^2=P_2-X\) et \(X=P_1-1\). Par substitution, on obtient

\[X^3=P_3-P_2+P_1-\tfrac{1}{2}P_0.\]

Les coordonnées de \(X^3\) dans cette base sont donc \(\left(-\tfrac12,1,-1,1\right)\). Une vérification rapide : \(X^2+X^3-X-X^2+1+X-1=X^3\).

On appelle base de \(E\) toute famille \(\mathcal{B}=(e_1,\dots,e_n)\) qui cumule la liberté et le caractère générateur.

Pour que \((e_1,\dots,e_n)\) soit une base de \(E\), il faut et il suffit que chaque \(x\in E\) admette une seule écriture \(x=x_1e_1+\dots+x_ne_n\). On nomme alors \(x_1,\dots,x_n\) les coordonnées de \(x\) relativement à \(\mathcal{B}\).

L’existence de l’écriture traduit exactement le caractère générateur. Pour l’unicité, deux écritures de \(x\) donnent par différence une combinaison nulle. Par liberté, leurs coefficients coïncident. Réciproquement, l’unicité de l’écriture de \(0\) est précisément la liberté.

• Pour \(\mathbb{K}^n\) : la famille \((\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n)\), où \(\varepsilon_i\) a un \(1\) en position \(i\) et des \(0\) ailleurs.
• Pour \(\mathbb{K}_n[X]\) : la famille des monômes \((1,X,X^2,\dots,X^n)\), de cardinal \(n+1\).
• Pour \(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\) : les matrices \(E_{i,j}\), dont un seul coefficient vaut \(1\) et les autres \(0\) ; il y en a \(np\).
• Le \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(\mathbb{C}\) admet la base \((1,i)\).

Pour trouver les composantes de \(x\) relativement à \((e_1,\dots,e_n)\) :

1. écrire l’inconnue \(x=a_1e_1+\dots+a_ne_n\) ;
2. traduire cette égalité composante par composante, ce qui donne un système linéaire ;
3. résoudre ce système, qui a forcément une unique solution ;
4. vérifier le résultat en recalculant la combinaison linéaire.

Avec des polynômes à degrés échelonnés, on procède plutôt par substitutions successives, du plus haut degré vers le plus bas.

Soit \(E\) un espace non réduit à \(\{0\}\), de dimension finie.

• Base extraite : si une famille finie engendre \(E\), certains de ses vecteurs suffisent à former une base de \(E\).
• Base incomplète : on transforme toute famille libre en base de \(E\) en piochant les vecteurs manquants dans n’importe quelle famille génératrice fixée.

Partons d’une famille libre \(\mathcal{L}\) et d’une famille génératrice finie \(\mathcal{G}\). Si chaque vecteur de \(\mathcal{G}\) appartient à \(\mathrm{Vect}(\mathcal{L})\), alors \(\mathrm{Vect}(\mathcal{L})\) contient \(\mathrm{Vect}(\mathcal{G})=E\), donc \(\mathcal{L}\) est une base. Sinon, un vecteur \(g\) de \(\mathcal{G}\) échappe à \(\mathrm{Vect}(\mathcal{L})\). D’après le paragraphe 1, la famille \(\mathcal{L}\) complétée par \(g\) reste libre. On recommence alors avec cette nouvelle famille. Le procédé s’arrête, car \(\mathcal{G}\) est finie. Enfin, la base extraite s’obtient en partant d’un vecteur non nul de \(\mathcal{G}\).

Lorsque \(n\) vecteurs engendrent \(E\), aucune famille de \(n+1\) vecteurs de \(E\) n’est libre.

Le nombre commun de vecteurs de toutes les bases de \(E\) est la dimension de \(E\), notée \(\dim E\). Par convention, \(\dim\{0\}=0\). On a ainsi \(\dim\mathbb{K}^n=n\), \(\dim\mathbb{K}_n[X]=n+1\) et \(\dim\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})=np\).

On fixe un espace \(E\) de dimension \(n\geqslant 1\) et une famille \(\mathcal{F}\) formée de \(p\) vecteurs de \(E\).

• Si \(\mathcal{F}\) est libre, alors \(p\leqslant n\). Si \(\mathcal{F}\) est génératrice, alors \(p\geqslant n\).
• Si \(p=n\), les trois propriétés suivantes sont équivalentes : \(\mathcal{F}\) est libre ; \(\mathcal{F}\) est génératrice ; \(\mathcal{F}\) est une base.

Supposons \(p=n\) et \(\mathcal{F}\) libre. Le théorème de la base incomplète permet d’ajouter à \(\mathcal{F}\) des vecteurs pour obtenir une base. Or cette base compte exactement \(n\) vecteurs. Donc on n’a rien ajouté, et \(\mathcal{F}\) est déjà une base. Supposons maintenant \(\mathcal{F}\) génératrice. On en extrait une base, qui compte \(n\) vecteurs. Par conséquent, on n’a rien retiré, et \(\mathcal{F}\) est une base.

Méthode en quatre temps, quand \(\dim E\) est connue et qu’on veut établir que \(\mathcal{F}\) est une base :

1. vérifier que les vecteurs de \(\mathcal{F}\) sont bien dans \(E\) ;
2. compter : \(\mathcal{F}\) doit avoir exactement \(\dim E\) vecteurs ;
3. démontrer seulement la liberté, qui est presque toujours la propriété la plus facile ;
4. conclure par le théorème de caractérisation, en le citant.

Pour tester la liberté d’une famille de fonctions, on évalue la relation en des points bien choisis. Par exemple, pour \(a\cos+b\sin+c\,\exp=0\) sur \(\mathbb{R}\), le point \(0\) donne \(a+c=0\). Ensuite, on dérive ou on choisit d’autres points jusqu’à obtenir un système de Cramer.

On appelle rang de \((v_1,\dots,v_p)\) l’entier suivant, qui mesure la taille de son Vect :

\[\mathrm{rg}(v_1,\dots,v_p)=\dim\mathrm{Vect}(v_1,\dots,v_p).\]

• \(\mathrm{rg}(v_1,\dots,v_p)\leqslant p\), l’égalité caractérisant les familles libres.
• Si les \(v_i\) sont dans \(E\) de dimension \(n\), alors \(\mathrm{rg}(v_1,\dots,v_p)\leqslant n\), l’égalité ayant lieu exactement pour les familles qui engendrent \(E\).
• Trois manipulations laissent le rang intact : permuter l’ordre des vecteurs, en dilater un par un facteur non nul, lui ajouter une combinaison des autres.

Pour calculer le rang d’une famille de vecteurs de \(\mathbb{K}^n\) :

1. écrire les vecteurs en lignes, les uns sous les autres ;
2. repérer dans la première colonne un coefficient non nul, qui servira de pivot, puis annuler les autres coefficients de cette colonne par des opérations \(L_i\leftarrow L_i-\alpha L_1\) ;
3. recommencer sur les lignes restantes avec la colonne suivante ;
4. compter les lignes non nulles obtenues : ce nombre est le rang.

Calculons le rang de \(v_1=(1,0,2,1)\), \(v_2=(2,1,3,0)\), \(v_3=(0,1,-1,-2)\) et \(v_4=(1,1,1,1)\) dans \(\mathbb{R}^4\). On remplace d’abord \(v_2\) par \(v_2-2v_1=(0,1,-1,-2)\) et \(v_4\) par \(v_4-v_1=(0,1,-1,0)\). On constate ensuite que \(v_2-2v_1=v_3\) : la ligne de \(v_3\) devient nulle après soustraction. Enfin, \((v_4-v_1)-(v_2-2v_1)=(0,0,0,2)\). On obtient la famille échelonnée

\[\begin{pmatrix}1&0&2&1\\0&1&-1&-2\\0&0&0&2\end{pmatrix}\]

Ses trois lignes sont non nulles et leurs pivots sont dans des colonnes distinctes. Donc le rang vaut \(3\). Au passage, on a obtenu la relation \(v_3=v_2-2v_1\).

On suppose \(E\) de dimension finie. Tout sous-espace \(F\) de \(E\) est alors lui-même de dimension finie, avec \(\dim F\leqslant\dim E\). Par ailleurs, l’égalité des dimensions n’a lieu que pour \(F=E\).

Une famille libre de \(F\) est libre dans \(E\), donc elle a au plus \(\dim E\) vecteurs. On choisit alors une famille libre de \(F\) de cardinal maximal. Ajouter à cette famille un vecteur quelconque de \(F\) la rend liée, donc ce vecteur est dans l’espace qu’elle engendre. Ainsi cette famille est une base de \(F\), et \(\dim F\leqslant\dim E\). Si les dimensions sont égales, cette base de \(F\) est une famille libre de \(E\) ayant \(\dim E\) vecteurs. Par conséquent, c’est une base de \(E\), et \(F=E\).

Deux sous-espaces emboîtés \(F\subset G\), de même dimension finie, sont égaux.

Sans inclusion, l’égalité des dimensions ne prouve rien. Dans \(\mathbb{R}^2\), les droites \(\mathrm{Vect}((1,0))\) et \(\mathrm{Vect}((0,1))\) ont la même dimension \(1\). Pourtant, elles sont distinctes. L’inclusion est donc l’hypothèse qu’il ne faut jamais oublier.

On considère deux sous-espaces \(F\) et \(G\) de \(E\), tous deux de dimension finie. Leur somme est encore de dimension finie, et

\[\dim(F+G)=\dim F+\dim G-\dim(F\cap G).\]

Posons \(r=\dim(F\cap G)\) et choisissons une base \((w_1,\dots,w_r)\) de \(F\cap G\). La base incomplète fournit des vecteurs \(f_1,\dots,f_s\) tels que \((w_1,\dots,w_r,f_1,\dots,f_s)\) soit une base de \(F\). Elle fournit aussi \(g_1,\dots,g_t\) tels que \((w_1,\dots,w_r,g_1,\dots,g_t)\) soit une base de \(G\). Nous allons voir que la famille \(\mathcal{C}=(w_1,\dots,w_r,f_1,\dots,f_s,g_1,\dots,g_t)\) convient pour \(F+G\).

D’abord, \(\mathcal{C}\) engendre \(F+G\) : un élément de \(F+G\) vaut \(f+g\), et \(f\) comme \(g\) se décomposent sur \(\mathcal{C}\). Ensuite, supposons \(\sum\alpha_iw_i+\sum\beta_jf_j+\sum\gamma_kg_k=0\). Le vecteur \(\sum\gamma_kg_k\) est dans \(G\). Il est aussi égal à \(-\sum\alpha_iw_i-\sum\beta_jf_j\), qui est dans \(F\). Il appartient donc à \(F\cap G\) et s’écrit \(\sum\delta_iw_i\). La liberté de la base de \(G\) impose alors tous les \(\gamma_k\) nuls. Il reste une combinaison nulle dans la base de \(F\), donc les \(\alpha_i\) et les \(\beta_j\) sont nuls. Finalement, \(\dim(F+G)=r+s+t=(r+s)+(r+t)-r\).

Dans \(\mathbb{R}^4\), soit \(F\) l’hyperplan d’équation \(x+y+z+t=0\) et \(G=\mathrm{Vect}(a,b)\) avec \(a=(1,2,0,-3)\) et \(b=(0,1,1,1)\). Aucun des vecteurs \(a\), \(b\) n’est multiple de l’autre, d’où \(\dim G=2\). Le vecteur \(\alpha a+\beta b=(\alpha,2\alpha+\beta,\beta,-3\alpha+\beta)\) appartient à \(F\) exactement quand la somme de ses coordonnées s’annule. Or cette somme vaut \(3\beta\). Ainsi \(F\cap G=\mathrm{Vect}(a)\), de dimension \(1\). La formule de Grassmann donne

\[\dim(F+G)=3+2-1=4.\]

Par conséquent, \(F+G=\mathbb{R}^4\), sans avoir écrit le moindre système de quatre équations.

Dans un espace \(E\) de dimension \(n\), si \(\dim F+\dim G>n\), alors \(F\cap G\neq\{0\}\). Par exemple, deux hyperplans de \(\mathbb{R}^n\), avec \(n\geqslant3\), ont toujours une intersection de dimension au moins \(n-2\geqslant1\).

On dit que \(F\) et \(G\) sont supplémentaires dans \(E\), et on note \(E=F\oplus G\), lorsque chaque \(x\) de \(E\) se décompose d’une seule manière en \(x=f+g\), où \(f\in F\) et \(g\in G\). Cela équivaut à \(F+G=E\) et \(F\cap G=\{0\}\).

Dans \(E\) de dimension finie, pour deux sous-espaces \(F\) et \(G\), il y a équivalence entre :

1. \(E=F\oplus G\) ;
2. \(F\cap G=\{0\}\) et \(\dim F+\dim G=\dim E\) ;
3. \(F+G=E\) et \(\dim F+\dim G=\dim E\) ;
4. en mettant bout à bout une base de \(F\) puis une base de \(G\), on obtient une base de \(E\).

Quand \(E\) est de dimension finie, chaque sous-espace \(F\) possède des supplémentaires. Il suffit de compléter une base de \(F\) en une base de \(E\) : les vecteurs ajoutés engendrent un supplémentaire de \(F\).

Dans \(\mathbb{R}^3\), soit \(P\) le plan d’équation \(x-2y+z=0\) et \(D=\mathrm{Vect}(d)\) avec \(d=(1,0,1)\). D’abord, \(1-0+1=2\neq0\), donc \(d\notin P\) et \(P\cap D=\{0\}\). Ensuite, \(\dim P+\dim D=2+1=3\). Ainsi \(\mathbb{R}^3=P\oplus D\). En écrivant \(x=2y-z\), on obtient la base \(p_1=(2,1,0)\), \(p_2=(-1,0,1)\) de \(P\). La famille \((p_1,p_2,d)\) est une base adaptée.

Décomposons \(v=(4,1,0)\). On cherche \(\lambda\) tel que \(v-\lambda d\in P\). La forme \(\varphi(x,y,z)=x-2y+z\) est linéaire, avec \(\varphi(v)=2\) et \(\varphi(d)=2\). Donc \(\lambda=1\), et

\[v=(3,1,-1)+(1,0,1),\]

où \((3,1,-1)\in P\), puisque \(3-2-1=0\).

• S’exercer : exercices corrigés de maths sup (MPSI) sur dimension et formule de Grassmann
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• Chapitre d’avant : Sous-espaces vectoriels, sommes et supplémentaires
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• Contrôle corrigé en temps limité : Sommes directes, dimension et rang : contrôle de maths en MPSI
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