Puissances et racines carrées : corrigé du contrôle de maths en seconde
Voici le corrigé du contrôle de maths en seconde sur le thème « puissances et racines carrées », question par question.
Cette correction détaille chaque calcul ligne par ligne, en citant la règle utilisée : produit de puissances de même base, quotient ou puissance d’une puissance. Pour l’écriture scientifique, elle montre comment on regroupe les mantisses d’un côté et les puissances de 10 de l’autre.
Pour les racines, chaque nombre est décomposé avec un carré parfait, puis les dénominateurs sont rendus rationnels. Ensuite, le problème de géométrie est rédigé avec le théorème de Pythagore et une figure annotée. Compare ta copie étape par étape, car une bonne méthode rapporte des points même si le résultat final est faux.
L’énoncé complet se trouve ici : Puissances et racines carrées : contrôle de maths en seconde.
Barème du contrôle corrigé : puissances et racines carrées
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Les règles des puissances | 4 points |
| 2. La lumière des étoiles | 4 points |
| 3. Simplifier des racines carrées | 4 points |
| 4. Des dénominateurs sans racine | 3 points |
| 5. Le carré et le triangle équilatéral | 5 points |
| Total | 20 points |
Le corrigé détaillé : puissances et racines carrées
Exercice 1 – Les règles des puissances (4 points)
- Dans un produit de puissances de même base, on ajoute les exposants : \(B = 2^{5+3}\), donc \(B = 2^8\).
- Dans un quotient de puissances de même base, on soustrait les exposants : \(C = 7^{9-4}\), donc \(C = 7^5\).
- Pour une puissance de puissance, on multiplie les exposants : \(D = 5^{3 \times 4}\), donc \(D = 5^{12}\).
- On ajoute les exposants, même quand l’un est négatif : \(E = 3^{4+(-6)}\), ainsi \(E = 3^{-2}\).
- On traite d’abord le numérateur : \(10^2 \times 10^{-5} = 10^{-3}\).
Puis on divise : \(F = 10^{-3-(-7)} = 10^{-3+7}\), donc \(F = 10^4\).
Comme \(6 = 2 \times 3\), on a \(6^3 = 2^3 \times 3^3\).
Alors \(G = \dfrac{2^3 \times 3^3 \times 2^{-2}}{3^2} = 2^{3-2} \times 3^{3-2}\).
Donc \(G = 2^1 \times 3^1\), c’est-à-dire \(G = 6\). On vérifie : \(216 \div 4 = 54\) puis \(54 \div 9 = 6\).
Piège classique : multiplier les exposants dans un produit, en écrivant \(2^5 \times 2^3 = 2^{15}\). La multiplication des exposants ne concerne que la puissance d’une puissance.
Exercice 2 – La lumière des étoiles (4 points)
- On place la virgule après le premier chiffre non nul, puis on compte les rangs de décalage.
Pour la Lune : \(384\,400 = 3{,}844 \times 10^5\) km.
Pour la bactérie, la virgule avance de 6 rangs vers la droite : \(0{,}000\,002 = 2 \times 10^{-6}\) m. - Une distance est le produit de la vitesse par la durée. On regroupe donc les mantisses d’un côté et les puissances de 10 de l’autre :
\(d = 3 \times 10^5 \times 3{,}15 \times 10^7\)
\(d = (3 \times 3{,}15) \times 10^{5+7}\)
\(d = 9{,}45 \times 10^{12}\)
Une année-lumière mesure environ \(9{,}45 \times 10^{12}\) km. - On multiplie par 4 :
\(4 \times 9{,}45 \times 10^{12} = 37{,}8 \times 10^{12}\).
Or \(37{,}8\) n’est pas compris entre 1 et 10, alors on écrit \(37{,}8 = 3{,}78 \times 10^1\).
Ainsi, \(37{,}8 \times 10^{12} = 3{,}78 \times 10^{13}\).
Proxima du Centaure est à environ \(3{,}78 \times 10^{13}\) km de la Terre.
Piège classique : laisser \(37{,}8 \times 10^{12}\) comme réponse finale. Ce nombre est juste, mais il n’est pas écrit en notation scientifique.
Exercice 3 – Simplifier des racines carrées (4 points)
- Le plus grand carré parfait qui divise 50 est 25 : \(H = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2}\), donc \(H = 5\sqrt{2}\).
- Le produit de deux racines est la racine du produit : \(I = \sqrt{12 \times 3} = \sqrt{36}\), donc \(I = 6\).
- D’abord, \(\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}\).
Ensuite, \(J = 5\sqrt{3} – 2\sqrt{3}\), donc \(J = 3\sqrt{3}\). - On simplifie chaque racine : \(\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}\) et \(\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}\).
Par conséquent, \(K = 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2}\), soit \(K = 5\sqrt{2}\). - On élève chaque facteur au carré : \(L = 2^2 \times \left(\sqrt{3}\right)^2 = 4 \times 3\), donc \(L = 12\).
Piège classique : écrire \(\sqrt{18} + \sqrt{8} = \sqrt{26}\). En effet, la racine d’une somme n’est pas la somme des racines.
Exercice 4 – Des dénominateurs sans racine (3 points)
- On multiplie en haut et en bas par \(\sqrt{3}\) :
\(\dfrac{6}{\sqrt{3}} = \dfrac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \dfrac{6\sqrt{3}}{3}\)
Donc \(\dfrac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}\). - Cette fois, on multiplie par \(\sqrt{5}\) :
\(\dfrac{5}{2\sqrt{5}} = \dfrac{5\sqrt{5}}{2 \times 5} = \dfrac{5\sqrt{5}}{10}\)
Ainsi, \(\dfrac{5}{2\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{2}\). - De la même façon, \(\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
Alors \(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{2\sqrt{2}}{2}\).
On obtient bien \(\sqrt{2}\).
Exercice 5 – Le carré et le triangle équilatéral (5 points)
- Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\), car \(ABCD\) est un carré. D’après le théorème de Pythagore :
\(AC^2 = AB^2 + BC^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72\)
Donc \(AC = \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}\).
La diagonale mesure \(6\sqrt{2}\) cm, soit environ 8,5 cm. - Dans un triangle équilatéral, la médiane issue de \(E\) est aussi la hauteur. Le triangle \(EHF\) est donc rectangle en \(H\), avec \(FH = 6 \div 2 = 3\) cm. D’après le théorème de Pythagore :
\(EF^2 = EH^2 + FH^2\), d’où \(EH^2 = 36 – 9 = 27\).
Ainsi, \(EH = \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}\).
La hauteur mesure \(3\sqrt{3}\) cm.
- L’aire d’un triangle vaut base fois hauteur divisé par 2 :
\(\text{Aire} = \dfrac{FG \times EH}{2} = \dfrac{6 \times 3\sqrt{3}}{2} = \dfrac{18\sqrt{3}}{2}\)
L’aire du triangle vaut \(9\sqrt{3}\text{ cm}^2\). - On simplifie d’abord : \(\dfrac{AC}{EH} = \dfrac{6\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} = \dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\).
Puis on multiplie en haut et en bas par \(\sqrt{3}\) : \(\dfrac{2\sqrt{2} \times \sqrt{3}}{3} = \dfrac{2\sqrt{6}}{3}\).
Le rapport vaut \(\dfrac{2\sqrt{6}}{3}\).
Piège classique : prendre \(FH = 6\) cm dans le triangle \(EHF\). Or \(H\) est le milieu de \([FG]\), donc \(FH\) ne vaut que 3 cm.
À retenir de ce contrôle
- Pour des puissances de même base, on ajoute les exposants dans un produit et on les soustrait dans un quotient.
- Un nombre en écriture scientifique s’écrit a × 10^n avec a compris entre 1 inclus et 10 exclu.
- Pour simplifier √n, on écrit n comme le produit du plus grand carré parfait possible par un autre entier.
- La somme √a + √b ne se simplifie pas en √(a + b) : par exemple, √9 + √16 vaut 7 et non 5.
- La diagonale d’un carré de côté c mesure c√2, et la hauteur d’un triangle équilatéral de côté c mesure c√3 divisé par 2.
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