Vecteurs et repérage : contrôle de maths en seconde
Voici un contrôle de maths en seconde sur le thème « vecteurs et repérage », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce devoir de synthèse réunit deux chapitres : les vecteurs et la géométrie repérée. Tu commences par des calculs de coordonnées de vecteurs, de milieux et de distances, puis tu démontres la nature d’un quadrilatère. Ensuite, tu construis un point défini par une égalité vectorielle et tu la justifies avec la relation de Chasles.
Tu utilises aussi le déterminant pour prouver un alignement ou pour réfuter un parallélisme. Enfin, un problème sur un parterre en forme de losange te demande de calculer une aire exacte. Fais ce contrôle en fin de trimestre, quand les deux chapitres sont terminés, car il demande des démonstrations rédigées à chaque étape.
Ce qu’évalue le contrôle : vecteurs et repérage
L’essentiel du sujet
- Niveauseconde
- Durée1 heure 30
- Calculatriceautorisée
- Barèmesur 20
Chapitres : Vecteurs et Repérage dans le plan (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Calculer les coordonnées d’un vecteur, d’un milieu et la distance entre deux points dans un repère orthonormé
- Démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme, un rectangle ou un losange à l’aide de vecteurs et de longueurs
- Construire un point défini par une relation vectorielle et justifier une égalité avec la relation de Chasles
- Utiliser le déterminant de deux vecteurs pour prouver un alignement ou un parallélisme
- Mobiliser la géométrie repérée pour calculer une aire dans une situation concrète
Avant de commencer le devoir
Commence par placer tous les points sur un brouillon quadrillé : une figure juste te guide vers la bonne propriété. Pour un vecteur, calcule toujours « arrivée moins départ ». Quand tu démontres la nature d’un quadrilatère, cite la propriété utilisée avant de conclure. Garde ensuite les racines carrées sous forme exacte, et n’utilise la calculatrice que pour vérifier un ordre de grandeur.
Le sujet du contrôle : vecteurs et repérage
Exercice 1 – Premiers calculs dans le repère (4 points)
Dans un repère orthonormé, on considère les points \(A(-2\,;\,1)\), \(B(4\,;\,3)\), \(C(3\,;\,6)\) et \(D(-3\,;\,4)\), représentés ci-dessous.
- Calcule d’abord les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{DC}\).
- Déduis-en la nature du quadrilatère \(ABCD\), en citant la propriété utilisée.
- Calcule ensuite les coordonnées du milieu \(I\) de \([AC]\), puis vérifie que \(I\) est aussi le milieu de \([BD]\).
- Donne enfin les longueurs \(AB\) et \(AD\) en valeur exacte, sous la forme \(a\sqrt{b}\) quand c’est possible.
Exercice 2 – Le quadrilatère est-il un rectangle ? (3 points)
On reprend ici les points de l’exercice 1, puis on étudie les diagonales.
- Tout d’abord, calcule les longueurs des diagonales \(AC\) et \(BD\).
- Démontre alors que \(ABCD\) est un rectangle.
- Ce rectangle est-il aussi un carré ? Justifie ta réponse, car un rectangle n’est pas toujours un carré.
Exercice 3 – Un point construit par des vecteurs (4 points)
Dans un autre repère orthonormé, on donne le triangle \(PQR\) avec \(P(-2\,;\,-1)\), \(Q(2\,;\,-2)\) et \(R(1\,;\,2)\). Reproduis d’abord la figure sur ta copie.
- Construis le point \(T\) tel que \(\overrightarrow{QT} = \overrightarrow{PR}\), puis calcule ses coordonnées.
- À l’aide de la relation de Chasles, démontre que \(\overrightarrow{PT} = \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{PR}\).
- Quelle est alors la nature du quadrilatère \(PQTR\) ? Justifie avec des vecteurs.
Exercice 4 – Alignement et parallélisme (4 points)
On revient aux points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) de l’exercice 1, et on ajoute le point \(G(9\,;\,-2)\).
- Calcule tout d’abord les coordonnées du milieu \(M\) du segment \([AB]\).
- Démontre que les points \(D\), \(M\) et \(G\) sont alignés, grâce au déterminant de deux vecteurs bien choisis.
- Les droites \((AC)\) et \((BG)\) sont-elles parallèles ? Justifie ensuite par un calcul.
- Détermine la norme du vecteur \(\overrightarrow{BG}\) en valeur exacte, puis donne son arrondi au centième.
Exercice 5 – Le parterre de fleurs (5 points)
Dans le jardin de la médiathèque, Soren dessine un parterre de fleurs sur un plan muni d’un repère orthonormé d’unité 1 mètre. Les coins du parterre sont \(K(0\,;\,-1)\), \(L(4\,;\,1)\), \(N(6\,;\,5)\) et \(P(2\,;\,3)\).
- Démontre d’abord que \(KLNP\) est un parallélogramme.
- Prouve ensuite que c’est un losange.
- Soren pense que son parterre est carré. Calcule \(LP^2\), puis montre qu’il se trompe grâce à la réciproque du théorème de Pythagore.
- Calcule ensuite les longueurs exactes des diagonales \(KN\) et \(LP\).
- Déduis-en enfin l’aire du parterre. Soren veut planter 8 fleurs par mètre carré : combien de fleurs doit-il acheter ?
Réviser vecteurs et repérage avant le contrôle
Si un exercice t’a bloqué, relis la leçon vecteurs puis coordonnées et repérage dans le plan ; entraîne-toi sur la fiche vecteurs et repérage dans le plan avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en seconde regroupe les 25 sujets de l’année, et la rubrique contrôles corrigés du CP à la terminale permet de changer de niveau.
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