Extremums libres et liés en maths spé (MP) : exercices corrigés

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Pour démarrer

Exercice 1 – Un minimum global pour un polynôme du second degré

On considère \(f(x,y) = x^2 + xy + y^2 – 3x + 3y\) sur \(\mathbb{R}^2\).

1. Déterminer l’unique point critique \(a\) de \(f\).
2. Calculer la hessienne de \(f\) et en déduire la nature locale de \(a\).
3. Écrire \(f(a + (h,k))\) sous forme exacte et montrer que \(f\) admet en \(a\) un minimum global, dont on donnera la valeur.

Exercice 2 – Hessienne et développement à l’ordre 2

Soit \(f(x,y) = e^{2x} \sin(3y) + x^3 y^2\) sur \(\mathbb{R}^2\).

1. Justifier que \(f\) est de classe \(C^2\) et calculer ses dérivées partielles d’ordre 1 et 2.
2. Vérifier sur ce calcul le théorème de Schwarz.
3. Écrire la matrice hessienne de \(f\) en \((0,0)\), puis le développement de Taylor-Young de \(f\) à l’ordre 2 en \((0,0)\).

Exercice 3 – Tangentes et plans tangents à des lignes de niveau

1. Vérifier que le point \((1,2)\) appartient à la courbe \(C\) d’équation \(x^3 + y^3 = 9\). Déterminer l’espace tangent à \(C\) en ce point, puis une équation de la tangente affine.
2. Vérifier que \((1,2,3)\) appartient à la surface \(S\) d’équation \(xyz = 6\). Déterminer une équation du plan tangent affine à \(S\) en ce point.
3. Montrer que le gradient de \((x,y,z) \mapsto xyz\) ne s’annule en aucun point de \(S\).

Exercice 4 – Un col et un minimum local

Soit \(f(x,y) = x^3 – 3xy + y^2\) sur \(\mathbb{R}^2\).

1. Déterminer les points critiques de \(f\).
2. Préciser leur nature à l’aide de la trace et du déterminant de la hessienne.
3. Le minimum local obtenu est-il global ?

Exercice 5 – Une équation de transport

Une quantité \(f(x,y)\), de classe \(C^1\) sur tout le plan, obéit à la loi \(\partial_x f = -2\,\partial_y f\). Le but est de décrire toutes les fonctions possibles.

1. Vérifier que le changement de variables \(u = x\), \(v = 2x – y\) est inversible, puis l’utiliser pour trouver la forme générale des solutions.
2. Déterminer la solution qui vérifie \(f(x,0) = \sin(x)\) pour tout réel \(x\), et vérifier le résultat.

Exercice 6 – Point d’un plan le plus proche de l’origine

Soit \(P\) le plan d’équation \(x + 2y – 2z = 18\) dans \(\mathbb{R}^3\), et \(f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2\).

1. Montrer que si \(f\) restreinte à \(P\) admet un extremum en un point, ce point est colinéaire au vecteur \((1,2,-2)\).
2. En déduire un unique candidat.
3. Prouver avec l’inégalité de Cauchy-Schwarz que ce candidat réalise le minimum de \(f\) sur \(P\), et donner la distance de l’origine à \(P\).

Pour s’entraîner

Exercice 7 – Quand les dérivées croisées diffèrent

On pose \(f(x,y) = \dfrac{xy(x^2 – 4y^2)}{x^2 + y^2}\) si \((x,y) \neq (0,0)\), et \(f(0,0) = 0\).

1. Montrer que \(|f(x,y)| \leqslant 4|xy|\) et en déduire que \(f\) est continue en \((0,0)\).
2. Calculer \(\partial_x f(0,y)\) pour tout réel \(y\), puis \(\partial_y f(x,0)\) pour tout réel \(x\).
3. Comparer les deux dérivées croisées \(\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}\) et \(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\) au point \((0,0)\). Quelle conclusion tirer sur la régularité de \(f\) ?

Exercice 8 – Un maximum local qui n’est pas global

Soit \(f(x,y) = xy\, e^{-(x+y)}\) sur \(\mathbb{R}^2\).

1. Déterminer les points critiques de \(f\).
2. Calculer les dérivées secondes et conclure sur la nature de chaque point critique.
3. Montrer que l’extremum local trouvé n’est pas global.

Exercice 9 – Une fonction de trois variables

Soit \(f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 – xy – yz + 2x\) sur \(\mathbb{R}^3\).

1. Déterminer l’unique point critique \(a\) de \(f\).
2. Écrire la hessienne \(H\) de \(f\) et calculer ses valeurs propres.
3. Montrer que \(f\) admet en \(a\) un minimum global strict et calculer \(f(a)\).

Exercice 10 – Forme quadratique sur le cercle unité

Soit \(f(x,y) = x^2 + 6xy + y^2\) et \(\Gamma\) le cercle d’équation \(x^2 + y^2 = 1\).

1. Expliquer pourquoi les bornes de \(f\) sur \(\Gamma\) sont atteintes.
2. Soit \((x,y)\) un point de \(\Gamma\) où \(f\) est extrémale. Prouver que \((x,y)\) est vecteur propre de \(A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}\).
3. En déduire les valeurs extrêmes de \(f\) sur \(\Gamma\) et les points correspondants.

Exercice 11 – Extremums sur un disque fermé

Soit \(D\) le disque fermé d’équation \(x^2 + y^2 \leqslant 20\) et \(f(x,y) = x^2 + y^2 – 2x – 4y\).

1. Justifier que \(f\) admet un maximum et un minimum sur \(D\).
2. Déterminer les points critiques de \(f\) situés dans l’intérieur de \(D\).
3. Chercher les extremums de \(f\) restreinte au cercle \(x^2 + y^2 = 20\) par la méthode des extremums liés.
4. Conclure en donnant le maximum et le minimum de \(f\) sur \(D\).

Exercice 12 – Équation des cordes vibrantes

On cherche les fonctions \(f\) de classe \(C^2\) sur \(\mathbb{R}^2\) telles que \(\partial_x^2 f – 4\,\partial_y^2 f = 0\).

1. On pose \(u = 2x + y\), \(v = 2x – y\) et \(f(x,y) = g(u,v)\). Justifier que \(g\) est bien définie et de classe \(C^2\).
2. Exprimer \(\partial_x^2 f – 4\,\partial_y^2 f\) à l’aide des dérivées partielles de \(g\).
3. En déduire toutes les solutions.
4. Déterminer la solution telle que \(f(0,y) = y^2\) et \(\partial_x f(0,y) = 0\) pour tout réel \(y\).

Exercice 13 – Fonctions constantes sur les demi-droites

Soit \(P\) le demi-plan ouvert des points d’abscisse strictement positive. L’inconnue est une fonction \(f\), de classe \(C^1\) sur \(P\), vérifiant \(x\,\partial_x f + y\,\partial_y f = 0\) en tout point.

1. Établir que l’application \(\Phi : (u,v) \mapsto (u, uv)\) envoie bijectivement \(P\) sur lui-même, et que \(\Phi\) et son inverse sont \(C^1\).
2. On pose \(g = f \circ \Phi\). Calculer \(\partial_u g\) et résoudre l’équation.
3. Interpréter géométriquement les solutions.

Exercice 14 – Maximiser un produit sous contrainte

On cherche le maximum de \(f(x,y,z) = x y^2 z\) sur \(K = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3,\ x, y, z \geqslant 0,\ x + y + z = 8\}\).

1. Justifier l’existence de ce maximum et montrer qu’il est atteint en un point à coordonnées strictement positives.
2. Appliquer la condition des extremums liés sur l’ouvert \(\left]0, +\infty\right[^3\) et déterminer ce point.
3. Donner la valeur du maximum.

Exercice 15 – Distances extrémales sur une ellipse

Soit \(E\) la courbe d’équation \(x^2 – xy + y^2 = 3\), représentée ci-dessous. On cherche les points de \(E\) les plus proches et les plus éloignés de l’origine.

1. Montrer que \(x^2 – xy + y^2 \geqslant \frac{1}{2}(x^2 + y^2)\) et en déduire que \(E\) est compacte.
2. Vérifier que le gradient de \(g(x,y) = x^2 – xy + y^2 – 3\) ne s’annule pas sur \(E\).
3. Chercher les extremums de \(x^2 + y^2\) sur \(E\) et conclure.

Pour approfondir

Exercice 16 – Minimum sur chaque droite, mais pas minimum local

Soit \(f(x,y) = (x – y^2)(x – 3y^2)\) sur \(\mathbb{R}^2\).

1. Montrer que l’origine est un point critique de \(f\) et que la hessienne y est de déterminant nul.
2. Montrer que la restriction de \(f\) à toute droite passant par l’origine admet un minimum local strict en 0.
3. Calculer \(f(2y^2, y)\) et en déduire que \(f\) n’admet pas de minimum local en l’origine.
4. Décrire la région du plan où \(f\) est strictement négative.

Exercice 17 – Entropie maximale d’une loi sur n valeurs

Soit \(n \geqslant 2\) et \(\Delta = \{p \in \mathbb{R}^n,\ p_i \geqslant 0,\ p_1 + \dots + p_n = 1\}\). On pose \(\varphi(t) = -t\ln(t)\) pour \(t > 0\), \(\varphi(0) = 0\), et \(H(p) = \varphi(p_1) + \dots + \varphi(p_n)\).

1. Montrer que \(\varphi\) est continue sur \(\left[0, 1\right]\), puis que \(H\) admet un maximum sur \(\Delta\).
2. Soit \(p \in \Delta\) avec \(p_j = 0\) et \(p_k > 0\). Pour \(\varepsilon \in \left]0, p_k\right[\), on note \(q\) le vecteur obtenu en remplaçant \(p_j\) par \(\varepsilon\) et \(p_k\) par \(p_k – \varepsilon\). Montrer que \(H(q) > H(p)\) pour \(\varepsilon\) assez petit.
3. En déduire que le maximum est atteint en un point de \(\left]0, 1\right[^n\), puis le déterminer par la méthode des extremums liés.
4. Conclure que \(H(p) \leqslant \ln(n)\) pour tout \(p \in \Delta\), avec égalité pour une seule loi.

Exercice 18 – Problème – Droite des moindres carrés

Une expérience fournit \(n \geqslant 2\) mesures \((x_1, y_1), \dots, (x_n, y_n)\), et l’on suppose qu’au moins deux des \(x_i\) sont distincts. On cherche la droite \(y = ax + b\) qui colle le mieux aux mesures. Avec les notations \(S_1 = \sum x_i\), \(S_2 = \sum x_i^2\), \(T_0 = \sum y_i\) et \(T_1 = \sum x_i y_i\), on étudie l’écart total :

\[ F(a,b) = \sum_{k=1}^{n} \big(y_k – (a x_k + b)\big)^2. \]

1. Calculer le gradient de \(F\) et montrer que ses points critiques sont les solutions du système \(a S_2 + b S_1 = T_1\), \(a S_1 + n b = T_0\).
2. Écrire la matrice hessienne \(H\) de \(F\). Prouver ensuite l’inégalité stricte \(n S_2 – S_1^2 > 0\), par exemple avec Cauchy-Schwarz dans \(\mathbb{R}^n\).
3. En déduire que \(F\) admet un unique point critique \((a_0, b_0)\), puis, en utilisant le fait que \(F\) est polynomiale de degré 2, que \(F\) y atteint son minimum global.
4. Montrer que la droite \(y = a_0 x + b_0\) passe par le point moyen \((\bar{x}, \bar{y})\).
5. Application : on prend les quatre points \((-1, 0)\), \((0, 1)\), \((1, 3)\) et \((2, 4)\), représentés ci-dessous. Déterminer \(a_0\), \(b_0\) et la valeur minimale de \(F\).

Pour aller plus loin

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