Corrigé des 31 exercices sur les intervalles et la valeur absolue en seconde à télécharger en PDF

Ainsi, Rappel : un crochet tourné vers le nombre (« [ » à gauche, « ] » à droite) signifie que la borne est incluse (symboles \(\leqslant\), \(\geqslant\)) ; un crochet tourné vers l’extérieur signifie que la borne est exclue (symboles \(\lt\), \(\gt\)). Également, Du côté de \(\pm\infty\), le crochet est toujours ouvert.

Enfin, les représentations graphiques des six lignes du tableau :

Pour chaque nombre, on regarde s’il est entre les bornes, puis on vérifie si une borne égale au nombre est incluse ou exclue.

1. \(1 \lt 2 \lt 3\) donc \(2 \in \;]1\,;\,3[\).
2. \(-1 \leqslant 0 \lt 2\) donc \(0 \in [-1\,;\,2[\).
3. \(0 \leqslant \frac{1}{3} \leqslant 3\) donc \(\frac{1}{3} \in [0\,;\,3]\).
4. Ensuite, 2 est la borne de droite, et elle est exclue (crochet « [ » tourné vers l’extérieur) : \(2 \notin \;]-2\,;\,2[\).
5. \(\sqrt{2} \approx 1{,}41 \gt 1\) donc \(\sqrt{2} \notin [-3\,;\,1]\).
6. Aussi, 0 est la borne de gauche, exclue : \(0 \notin \;]0\,;\,+\infty[\) (cet intervalle contient les nombres strictement positifs).
7. \(-100 \lt 1\) donc \(-100 \in \;]-\infty\,;\,1[\).
8. \(\frac{1}{10} = 0{,}1\) et \(0{,}01 \leqslant 0{,}1 \lt 0{,}2\) donc \(\frac{1}{10} \in [0{,}01\,;\,0{,}2[\).

Ainsi, on transforme l’encadrement étape par étape. Ajouter un nombre ou multiplier par un nombre positif conserve l’ordre ; multiplier par un nombre négatif inverse l’ordre (les bornes s’échangent, avec leurs crochets).

Aussi, 1. \(7 \leqslant x \leqslant 20 \iff 7 \times 7 \leqslant 7x \leqslant 7 \times 20 \iff 49 \leqslant 7x \leqslant 140\).

\(x \in [7\,;\,20] \iff 7x \in [49\,;\,140]\).

De plus, 2. \(-1 \lt x \leqslant 3 \iff -3 \leqslant -x \lt 1\) (multiplication par \(-1\)) \(\iff 4 \leqslant 7-x \lt 8\).

\(x \in \;]-1\,;\,3] \iff 7-x \in [4\,;\,8[\).

De plus, 3. \(-5 \leqslant x \leqslant 7 \iff -10 \leqslant 2x \leqslant 14 \iff -7 \leqslant 2x+3 \leqslant 17\).

\(x \in [-5\,;\,7] \iff 2x+3 \in [-7\,;\,17]\).

De plus, 4. \(-2x \in [1\,;\,+\infty[ \iff -2x \geqslant 1 \iff x \leqslant -\frac{1}{2}\) (division par \(-2\), le sens change).

\(x \in \;\left]-\infty\,;\,-\frac{1}{2}\right] \iff -2x \in [1\,;\,+\infty[\).

Par ailleurs, 5. \(3-x \in \;]-\infty\,;\,6] \iff 3-x \leqslant 6 \iff -x \leqslant 3 \iff x \geqslant -3\).

\(x \in [-3\,;\,+\infty[ \iff 3-x \in \;]-\infty\,;\,6]\).

Par ailleurs, 6. \(-1 \leqslant 7+2x \leqslant 1 \iff -8 \leqslant 2x \leqslant -6 \iff -4 \leqslant x \leqslant -3\).

\(x \in [-4\,;\,-3] \iff 7+2x \in [-1\,;\,1]\).

Vérification sur une borne, par exemple en 6 : si \(x=-4\), \(7+2 \times (-4) = -1\) ; si \(x=-3\), \(7+2 \times (-3) = 1\).

1. Ainsi, les points \(M(x\,;\,y)\) vérifient \(x \in \;]1\,;\,4[\) et \(y \in [5\,;\,6]\). Puis l’abscisse est comprise entre les droites verticales \(x=1\) et \(x=4\), l’ordonnée entre les droites horizontales \(y=5\) et \(y=6\) : l’ensemble est l’intérieur d’un rectangle.

• Aussi, les côtés verticaux (\(x=1\) et \(x=4\)) sont exclus (inégalités strictes) : on les trace en pointillés.
• Les côtés horizontaux (\(y=5\) et \(y=6\)) sont inclus, sauf leurs extrémités : on les trace en trait plein.

2. On commence par résoudre chaque encadrement.

\[ \begin{aligned} 1 \leqslant 2x+1 \leqslant 4 &\iff 0 \leqslant 2x \leqslant 3 \\ &\iff 0 \leqslant x \leqslant \frac{3}{2} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} 5 \lt 2-5y \lt 6 &\iff 3 \lt -5y \lt 4 \\ &\iff -\frac{4}{5} \lt y \lt -\frac{3}{5} \quad \text{(division par } -5 \text{, le sens change)} \end{aligned} \]

Donc \(x \in \left[0\,;\,\frac{3}{2}\right]\) et \(y \in \left]-\frac{4}{5}\,;\,-\frac{3}{5}\right[\), soit \(0 \leqslant x \leqslant 1{,}5\) et \(-0{,}8 \lt y \lt -0{,}6\). Donc, C’est encore un rectangle, cette fois avec les côtés verticaux inclus (trait plein) et les côtés horizontaux exclus (pointillés).

1. Par ailleurs, la fonction reçoit trois nombres \(a\), \(b\) et \(x\). De plus, elle renvoie True (VRAI) lorsque \(x \gt a\) et \(x \lt b\), c’est-à-dire lorsque \(a \lt x \lt b\), et False (FAUX) sinon.

Ensuite, ce programme teste si le nombre \(x\) appartient à l’intervalle ouvert \(]a\,;\,b[\) (avec \(a \lt b\)).

2. Il suffit de remplacer les inégalités strictes par des inégalités larges du côté des bornes incluses. Ensuite, en Python, \(\geqslant\) s’écrit >= et \(\leqslant\) s’écrit <=. Par ailleurs, en Scratch, qui n’a pas de bloc « ≥ », on écrit par exemple « (x > a) ou (x = a) », ou bien « non (x < a) ».

Ensuite, Intervalle \([a\,;\,b]\) :
def DansIntervalle(a, b, x):
    if x >= a and x <= b:
        return(True)
    else:
        return(False)

Ensuite, intervalle \(]a\,;\,b]\) : on remplace la ligne 2 par if x > a and x <= b:

De plus, Intervalle \([a\,;\,b[\) : on remplace la ligne 2 par if x >= a and x < b:

Exemple de contrôle avec \(a=1\), \(b=3\) : pour \(x=1\), la première version renvoie True, la deuxième False, la troisième True.

1. Aussi, la fonction reçoit deux nombres \(a\) et \(x\). Puis elle renvoie True lorsque \(a \lt x\), c’est-à-dire \(x \gt a\), et False sinon. Ensuite, il n’y a qu’une borne : ce programme teste si \(x\) appartient à l’intervalle \(]a\,;\,+\infty[\).

2. Enfin, on garde la même structure et on change seulement la condition de la ligne 2.

• \(x \in [a\,;\,+\infty[ \iff x \geqslant a\) : if x >= a: (en Scratch : « (a < x) ou (a = x) »).
• \(x \in \;]-\infty\,;\,a] \iff x \leqslant a\) : if x <= a: (en Scratch : « (x < a) ou (x = a) »).
• \(x \in \;]-\infty\,;\,a[ \iff x \lt a\) : if x < a: (en Scratch : « x < a »).

Par exemple, la version pour \(]-\infty\,;\,a]\) :
def DansIntervalleBis(a, x):
    if x <= a:
        return(True)
    else:
        return(False)

Aussi, le mot « ou » correspond à une réunion \(\cup\) : \(x\) est dans l’un des deux ensembles au moins. Puis on résout d’abord chaque inégalité, puis on réunit.

1. \(x \geqslant 3\) ou \(x \leqslant 0\) : \(x \in \;]-\infty\,;\,0] \cup [3\,;\,+\infty[\).
2. \(x-6 \gt 0 \iff x \gt 6\) ; \(5x \leqslant 5 \iff x \leqslant 1\). Donc \(x \in \;]-\infty\,;\,1] \cup \;]6\,;\,+\infty[\).
3. \(-4x \leqslant -20 \iff x \geqslant 5\) (division par \(-4\), le sens change). Donc \(x \in \;]-\infty\,;\,2] \cup [5\,;\,+\infty[\).
4. \(3x \geqslant 12 \iff x \geqslant 4\). Or si \(x \geqslant 4\), alors \(x \geqslant 3\) : la réunion est \([3\,;\,+\infty[ \cup [4\,;\,+\infty[\) = \([3\,;\,+\infty[\).
5. \(7x-4 \geqslant 3 \iff 7x \geqslant 7 \iff x \geqslant 1\) ; \(1-x \gt 0 \iff x \lt 1\). Par ailleurs, Tout réel vérifie l’une ou l’autre : \(x \in \;]-\infty\,;\,1[ \cup [1\,;\,+\infty[ = \mathbb{R}\).
6. \(1-x \gt -3 \iff -x \gt -4 \iff x \lt 4\) ; \(2x+1 \leqslant 7 \iff x \leqslant 3\). Aussi, Comme \(]-\infty\,;\,3] \subset \;]-\infty\,;\,4[\), on obtient \(x \in \;]-\infty\,;\,4[\).

De plus, le mot « et » correspond à une intersection \(\cap\) : on garde seulement les nombres communs aux deux intervalles.

1. \(a \lt 3\) et \(a \gt -6\) : \(]-\infty\,;\,3[ \;\cap\; ]-6\,;\,+\infty[\) = \(]-6\,;\,3[\).
2. \(-a \geqslant -7 \iff a \leqslant 7\). Aussi, on cherche \([-5\,;\,+\infty[ \;\cap\; ]-\infty\,;\,7]\) = \([-5\,;\,7]\).
3. \(2a+1 \lt 3 \iff 2a \lt 2 \iff a \lt 1\) ; \(3a-1 \geqslant 0 \iff a \geqslant \frac{1}{3}\). Ensuite, on cherche \(]-\infty\,;\,1[ \;\cap\; \left[\frac{1}{3}\,;\,+\infty\right[\) = \(\left[\frac{1}{3}\,;\,1\right[\).
4. \(3(2-a) \lt 3 \iff 6-3a \lt 3 \iff -3a \lt -3 \iff a \gt 1\) (division par \(-3\)) ; \(a-1 \geqslant 2 \iff a \geqslant 3\). Par ailleurs, on cherche \(]1\,;\,+\infty[ \;\cap\; [3\,;\,+\infty[\) = \([3\,;\,+\infty[\).

De plus, Par définition, \(|x| = x\) si \(x \geqslant 0\) et \(|x| = -x\) si \(x \lt 0\). De plus, un nombre est donc égal à sa valeur absolue si et seulement s’il est positif ou nul. Ensuite, on étudie le signe de chaque nombre.

1. \(2 \geqslant 0\) : oui, \(|2| = 2\).
2. \(3-\frac{8}{3} = \frac{9}{3}-\frac{8}{3} = \frac{1}{3} \geqslant 0\) : oui.
3. \(9\pi \approx 28{,}27 \gt 25\), donc \(25-9\pi \lt 0\) : non, \(|25-9\pi| = 9\pi-25\).
4. \(\frac{1}{2}-\frac{1}{3} = \frac{3}{6}-\frac{2}{6} = \frac{1}{6} \geqslant 0\) : oui.
5. \(2 \lt 5\) donc \(\sqrt{2} \lt \sqrt{5}\) et \(\sqrt{2}-\sqrt{5} \lt 0\) : non, \(|\sqrt{2}-\sqrt{5}| = \sqrt{5}-\sqrt{2}\).
6. \(-2+9 \times (-3) = -2-27 = -29 \lt 0\) : non, \(|-29| = 29\).

Également, la valeur absolue d’un nombre est sa distance à zéro : on enlève le signe « − » d’un nombre négatif, et un nombre positif reste inchangé.

1. \(|-5| = 5\).
2. \(\frac{-2}{-3} = \frac{2}{3}\) (quotient de deux négatifs, donc positif), donc \(\left|\frac{-2}{-3}\right| = \frac{2}{3}\).
3. \(\sqrt{289} = 17\) car \(17^2 = 289\), donc \(\left|-\sqrt{289}\right| = |-17| = 17\).
4. On calcule d’abord le nombre en respectant les priorités :
   \[ \begin{aligned} 3-\frac{2}{3} \times (6-4) &= 3-\frac{2}{3} \times 2 \\ &= \frac{9}{3}-\frac{4}{3} \\ &= \frac{5}{3} \end{aligned} \]
   Ce nombre est positif, donc \(\left|3-\frac{2}{3} \times (6-4)\right| = \frac{5}{3}\).

On étudie d’abord le signe du nombre entre les barres : s’il est positif, on le garde ; s’il est négatif, on prend son opposé.

1. \( 10^{-7}=0{,}0000001 \) est plus petit que \( 10^{-3}=0{,}001 \), donc \( 10^{-7}-10^{-3} \lt 0 \) :

\[ \left|10^{-7}-10^{-3}\right|=10^{-3}-10^{-7}=0{,}001-0{,}0000001=0{,}0009999. \]

2. \( 17-25=-8 \lt 0 \), donc \( |17-25|=|-8|=\mathbf{8} \).

3. \( \sqrt{2}\approx 1{,}414 \gt 1 \), donc \( 1-\sqrt{2} \lt 0 \) : \( \left|1-\sqrt{2}\right|=\sqrt{2}-1 \) (environ 0,414).

4. \( -3-\pi \) est la somme de deux négatifs, donc \( -3-\pi \lt 0 \) : \( |-3-\pi|=3+\pi \) (environ 6,14).

Également, la distance entre deux réels a et b est \( |a-b| \) (ou \( |b-a| \), c’est la même chose) : c’est la longueur du segment qui les relie sur une droite graduée.

Donc, 1. \( |-2-(-12)|=|-2+12|=|10|=\mathbf{10} \).

2. \( \left|\dfrac{5}{3}-\dfrac{7}{6}\right|=\left|\dfrac{10}{6}-\dfrac{7}{6}\right|=\left|\dfrac{3}{6}\right|=\dfrac{1}{2} \).

Enfin, 3. \( |2\pi-(-\pi)|=|3\pi|=3\pi \) (environ 9,42).

4. \( |6-(-4)|=|10|=\mathbf{10} \).

De plus, on remplace x par 2 dans chaque inégalité et on calcule la valeur absolue.

• \( |2-3|=|-1|=1 \) et \( 1 \leqslant 2 \) : l’inégalité \( |x-3| \leqslant 2 \) est vérifiée par 2.
• \( |2-3|=1 \), mais \( 1 \lt 1 \) est faux (1 n’est pas strictement inférieur à lui-même) : \( |x-3| \lt 1 \) n’est pas vérifiée.
• \( |2+3|=5 \) et \( 5 \leqslant 2 \) est faux : \( |x+3| \leqslant 2 \) n’est pas vérifiée.
• \( |2-2|=0 \) et \( 0 \lt 1 \) : \( |x-2| \lt 1 \) est vérifiée.

En termes de distances : 2 est à la distance 1 de 3 (donc à moins de 2, mais pas à strictement moins de 1), et à la distance 5 de \( -3 \).

Enfin, on utilise la propriété : pour \( a \gt 0 \), \( |X|=a \iff X=a \) ou \( X=-a \) ; une valeur absolue n’est jamais négative.

1. \( |x|=8 \iff x=8 \) ou \( x=-8 \) : \( S=\{-8\,;8\} \).

2. Donc, une valeur absolue est toujours positive ou nulle : \( |x|=-5 \) est impossible, \( S=\varnothing \).

3. \( |x-1|=3 \iff x-1=3 \) ou \( x-1=-3 \iff x=4 \) ou \( x=-2 \) : \( S=\{-2\,;4\} \). Aussi, (Ce sont les nombres à la distance 3 de 1.)

4. \( |2x+1|=4 \iff 2x+1=4 \) ou \( 2x+1=-4 \iff x=\dfrac{3}{2} \) ou \( x=-\dfrac{5}{2} \) : \( S=\left\{-\dfrac{5}{2}\,;\dfrac{3}{2}\right\} \).

Par ailleurs, Vérification : \( \left|2\times\frac{3}{2}+1\right|=|4|=4 \) et \( \left|2\times\left(-\frac{5}{2}\right)+1\right|=|-4|=4 \).

1. Vraie. Pour tout réel x, \( x^2 \geqslant 0 \), donc \( 1+x^2 \geqslant 1 \gt 0 \). Par ailleurs, un nombre positif est égal à sa valeur absolue : \( \left|1+x^2\right|=1+x^2 \).

2. Fausse. Contre-exemple : \( k=1 \in \mathbb{Z} \), \( |1|=1 \) alors que \( -k=-1 \). Enfin, L’égalité \( |k|=-k \) n’est vraie que pour les entiers négatifs ou nuls.

3. Fausse. \( (-x)^2=x^2 \geqslant 0 \), donc \( \left|(-x)^2\right|=x^2 \). De plus, Or \( x^2=-x^2 \) seulement si \( x=0 \). Contre-exemple : pour \( x=1 \), \( \left|(-1)^2\right|=1 \) mais \( -1^2=-1 \).

4. Vraie. \( n^2-n=n(n-1) \). Puis pour \( n \in \mathbb{N} \) : si \( n=0 \), le produit vaut 0 ; si \( n \geqslant 1 \), les deux facteurs n et \( n-1 \) sont positifs ou nuls. Donc \( n^2-n \geqslant 0 \) et \( \left|n^2-n\right|=n^2-n \).

Ainsi, on traduit chaque condition en intervalle. Ensuite, pour une valeur absolue, on pense distance : \( |x-a| \leqslant r \) signifie que x est à une distance au plus r de a, soit \( a-r \leqslant x \leqslant a+r \).

Par ailleurs, 1. \( |x-2| \leqslant 3 \iff 2-3 \leqslant x \leqslant 2+3 \iff -1 \leqslant x \leqslant 5 \) : \( x \in [-1\,;5] \).

2. \( x \leqslant 15 \) : \( x \in \left]-\infty\,;15\right] \) (crochet ouvert du côté de \( -\infty \)).

Par ailleurs, 3. \( |x| \leqslant 1 \iff -1 \leqslant x \leqslant 1 \) : \( x \in [-1\,;1] \).

4. \( 0 \leqslant x \leqslant 2 \) : \( x \in [0\,;2] \).

Un encadrement à \( 10^{-3} \) près est un encadrement entre deux nombres à trois décimales qui diffèrent de 0,001.

1. La calculatrice donne \( \dfrac{1}{7}\approx 0{,}142857 \), donc \( 0{,}142 \lt \dfrac{1}{7} \lt 0{,}143 \).

2. \( 0{,}758 \lt 0{,}7586 \lt 0{,}759 \).

3. \( \sqrt{17}\approx 4{,}1231 \) ; on vérifie avec les carrés : \( 4{,}123^2=16{,}999129 \lt 17 \) et \( 4{,}124^2=17{,}007376 \gt 17 \), donc \( 4{,}123 \lt \sqrt{17} \lt 4{,}124 \).

4. \( 2{,}356\times 10^{-3}=0{,}002356 \), donc \( 0{,}002 \lt 2{,}356\times 10^{-3} \lt 0{,}003 \).

Notons a l’âge d’une personne (a est positif).

• Macumba : « strictement plus de 32 ans », \( a \gt 32 \), soit \( a \in \left]32\,;+\infty\right[ \) (32 exclu).
• Playa : « au plus 40 ans », \( a \leqslant 40 \), soit \( a \in [0\,;40] \) (40 inclus).

1. Pour entrer dans les deux boîtes, il faut les deux conditions à la fois : c’est l’intersection \( \left]32\,;+\infty\right[\cap[0\,;40]=\left]32\,;40\right] \).

2. Pour entrer dans l’une des deux boîtes (au moins une), il suffit d’une des conditions : c’est la réunion \( [0\,;40]\cup\left]32\,;+\infty\right[=[0\,;+\infty[ \). Tout âge convient : une personne de 32 ans ou moins peut aller à la Playa, une personne de plus de 40 ans à la Macumba.

Si l’on comprend « une seule des deux boîtes », on retire la partie commune : \( [0\,;32]\cup\left]40\,;+\infty\right[ \).

Les enfants n’ont pas de revenu : le revenu du foyer est la somme des deux salaires.

\[ 2\,731+2\,732=5\,463 \text{ euros}. \]

On compare aux bornes de l’intervalle \( [3\,253\,;5\,609] \) : \( 3\,253 \leqslant 5\,463 \leqslant 5\,609 \). Donc \( 5\,463 \in [3\,253\,;5\,609] \).

a. \( |-3x|=|-3|\times|x|=3|x| \), donc \( 3|x|=7 \iff |x|=\dfrac{7}{3} \iff x=\dfrac{7}{3} \) ou \( x=-\dfrac{7}{3} \). \( S=\left\{-\dfrac{7}{3}\,;\dfrac{7}{3}\right\} \).

b. Une valeur absolue est toujours positive ou nulle, elle ne peut pas être strictement inférieure à \( -15 \) : \( S=\varnothing \).

c. \( |x-4| \) est la distance de x à 4 et \( |x+6|=|x-(-6)| \) la distance de x à \( -6 \). Puis on cherche les x à égale distance de 4 et de \( -6 \) : c’est le milieu, \( \dfrac{4+(-6)}{2}=-1 \). Vérification : \( |-1-4|=5 \) et \( |-1+6|=5 \). \( S=\{-1\} \).

d. \( |x-5| \leqslant 6 \) : x est à une distance au plus 6 de 5, donc \( 5-6 \leqslant x \leqslant 5+6 \), soit \( -1 \leqslant x \leqslant 11 \). \( S=[-1\,;11] \).

e. \( |x+10|=|x-(-10)| \geqslant 3 \) : x est à une distance au moins 3 de \( -10 \), donc \( x \leqslant -13 \) ou \( x \geqslant -7 \). \( S=\left]-\infty\,;-13\right]\cup\left[-7\,;+\infty\right[ \).

Un crochet tourné vers le nombre signifie que la borne est incluse (inégalité large) ; tourné vers l’extérieur, qu’elle est exclue (inégalité stricte). De plus, L’infini ne donne aucune inégalité.

• a. \( x \in \left[\dfrac{5}{4}\,;+\infty\right[ \iff x \geqslant \dfrac{5}{4} \).
• b. \( x \in \left]-\infty\,;-4\right] \iff x \leqslant -4 \).
• c. \( x \in \left]-\infty\,;0\right[ \iff x \lt 0 \).
• d. \( x \in \left[-1\,;+\infty\right[ \iff x \geqslant -1 \).

Une inégalité large (\(\leqslant\)) donne un crochet fermé, tourné vers le nombre ; une inégalité stricte (\(\lt\)) donne un crochet ouvert, tourné vers l’extérieur.

• a. \( 1 \leqslant x \leqslant 7 \) : les deux bornes sont comprises, \( x\in[1\,;\,7] \).
• b. \( 0 \lt x \lt 2 \) : aucune borne n’est comprise, \( x\in\,]0\,;\,2[ \).
• c. \( -1 \lt x \leqslant 4 \) : −1 exclu, 4 inclus, \( x\in\,]-1\,;\,4] \).
• d. \( 7 \leqslant x \lt 8 \) : 7 inclus, 8 exclu, \( x\in[7\,;\,8[ \).

Quand une seule borne est donnée, l’autre côté va jusqu’à l’infini, et le crochet est toujours ouvert du côté de \(+\infty\) ou \(-\infty\).

• a. \( x \gt 4 \) : \( x\in\,]4\,;\,+\infty[ \) (4 exclu).
• b. \( x \leqslant -1 \) : \( x\in\,]-\infty\,;\,-1] \) (−1 inclus).
• c. \( x \geqslant \frac{7}{2} \) : \( x\in\left[\frac{7}{2}\,;\,+\infty\right[ \), c’est-à-dire \( [3{,}5\,;\,+\infty[ \).
• d. \( x \lt \sqrt{3} \) : \( x\in\,]-\infty\,;\,\sqrt{3}[ \) (\(\sqrt{3}\) exclu).

• a. Le crochet est ouvert en −3 : −3 est exclu de l’intervalle. \( -3 \notin\, ]-3\,;\,1] \).
• b. Le crochet est fermé en 5 : 5 est une borne comprise. \( 5 \in [1\,;\,5] \).
• c. \( \pi \approx 3{,}14 \), donc \( -\pi \approx -3{,}14 \), qui est plus petit que −3 : il est à gauche de l’intervalle. \( -\pi \notin [-3\,;\,-2] \).
• d. \( -\frac{5}{6} \approx -0{,}83 \) et \( -2 \leqslant -0{,}83 \leqslant 0 \). \( -\frac{5}{6} \in [-2\,;\,0] \).

On place I = [−2 ; 4], J = [−5 ; 2[ et K = [−3 ; 5[ sur une droite graduée. L’intersection \(\cap\) contient les nombres qui sont dans les deux intervalles (partie commune) ; la réunion \(\cup\) contient les nombres qui sont dans l’un ou l’autre.

• L = I ∩ J : la partie commune commence à −2 (inclus, car −2 est dans I et dans J) et s’arrête à 2 (exclu, car 2 n’est pas dans J). \( L=[-2\,;\,2[ \).
• M = I ∪ J : les deux intervalles se chevauchent, la réunion va de −5 à 4, bornes comprises. \( M=[-5\,;\,4] \).
• N = K ∩ I : I est entièrement contenu dans K (car \(-3\leqslant -2\) et \(4 \lt 5\)), donc \( N=I=[-2\,;\,4] \).
• P = I ∩ J ∩ K = L ∩ K ; L = [−2 ; 2[ est contenu dans K, donc \( P=[-2\,;\,2[ \).

1. a. \( ]-11\,;\,8] \cap [-11\,;\,1{,}5] \) : les nombres communs sont supérieurs à −11 (−11 est exclu du premier intervalle) et inférieurs ou égaux à 1,5. Résultat : \( ]-11\,;\,1{,}5] \).

b. \( [-7\,;\,-3[ \cap ]-2\,;\,-1] \) : le premier intervalle s’arrête avant −3, le second commence après −2. Ensuite, ils n’ont aucun nombre commun : l’intersection est l’ensemble vide \( \varnothing \).

2. a. \( [15\,;\,37[ \cup ]-1\,;\,17[ \) : les intervalles se chevauchent (entre 15 et 17), la réunion va de −1 (exclu) à 37 (exclu). Résultat : \( ]-1\,;\,37[ \).

b. \( ]-5\,;\,2] \cup [3\,;\,7] \) : les nombres entre 2 et 3 (par exemple 2,5) n’appartiennent à aucun des deux intervalles. Par ailleurs, la réunion ne peut pas s’écrire comme un seul intervalle : on la laisse sous la forme \( ]-5\,;\,2] \cup [3\,;\,7] \).

Pour chaque cas, on représente I (en bleu) et J (en rouge) sur la même graduation, puis on lit la partie commune (intersection) et la partie couverte par au moins l’un des deux (réunion).

Exercice 27 : Union et intersection d intervalles (suite)

• Cas 1 : I = [−4 ; 2], J = [−1 ; 6]. Partie commune de −1 à 2 : \( I\cap J=[-1\,;\,2] \) ; réunion de −4 à 6 : \( I\cup J=[-4\,;\,6] \).
• Cas 2 : I = ]−∞ ; 3], J = [−2 ; +∞[. \( I\cap J=[-2\,;\,3] \) ; les deux intervalles recouvrent toute la droite : \( I\cup J=\mathbb{R} \).
• Cas 3 : J est contenu dans I (tout nombre inférieur ou égal à 4 l’est aussi à 7). \( I\cap J=J=]-\infty\,;\,4] \) et \( I\cup J=I=]-\infty\,;\,7] \).
• Cas 4 : I = ]−∞ ; −1], J = [−1 ; +∞[. Le seul nombre commun est −1 (compris dans les deux) : \( I\cap J=\{-1\} \) ; \( I\cup J=\mathbb{R} \).
• Cas 5 : I est contenu dans J (car \( 3\geqslant -5 \)). \( I\cap J=I=[3\,;\,+\infty[ \) et \( I\cup J=J=[-5\,;\,+\infty[ \).

Retenir : quand un intervalle est inclus dans l’autre, l’intersection est le plus petit et la réunion le plus grand.

Rappel : \( |a|=a \) si \( a\geqslant 0 \) et \( |a|=-a \) si \( a \lt 0 \). Puis on étudie donc d’abord le signe de ce qui est entre les barres.

• a. \( \sqrt{2}\approx 1{,}41 \gt 1 \), donc \( 1-\sqrt{2} \lt 0 \) et \( |1-\sqrt{2}|=-(1-\sqrt{2})= \) \( \sqrt{2}-1 \).
• b. \( 3 \gt 2 \) donc \( \sqrt{3} \gt \sqrt{2} \) et \( \sqrt{3}-\sqrt{2} \gt 0 \) : \( |\sqrt{3}-\sqrt{2}|=\sqrt{3}-\sqrt{2} \).
• c. \( \pi\approx 3{,}14 \lt 4 \), donc \( \pi-4 \lt 0 \) et \( |\pi-4|=4-\pi \).
• d. \( |\pi|=\pi \) et \( |-\pi|=\pi \), donc \( |\pi|-|-\pi|=\pi-\pi= \) 0.

On calcule d’abord à l’intérieur des barres, puis on prend la valeur absolue, et enfin on fait l’opération.

• a. \( |-5|\times|-6|=5\times 6= \) 30.
• b. \( |-5+3|+|-7+4|=|-2|+|-3|=2+3= \) 5.
• c. \( |11-19|-|-14+1|=|-8|-|-13|=8-13= \) −5.

Attention au c : une valeur absolue est toujours positive, mais une différence de valeurs absolues peut être négative.

La distance entre deux points d’abscisses \(x\) et \(y\) est \( d(x\,;y)=|x-y| \) : on soustrait les abscisses, puis on prend la valeur absolue (l’ordre n’a pas d’importance).

Premier axe : A(4), B(1), C(−3).

• a. \( AB=|4-1|=3 \)
• b. \( AC=|4-(-3)|=|7|=7 \)
• c. \( BC=|1-(-3)|=|4|=4 \)
• d. \( CC=|-3-(-3)|=0 \) : la distance d’un point à lui-même est nulle.

Second axe : A(−1), B(−3), C(−8).

• a. \( AB=|-1-(-3)|=|2|=2 \)
• b. \( AC=|-1-(-8)|=|7|=7 \)
• c. \( BC=|-3-(-8)|=|5|=5 \)

On vérifie sur chaque axe que \( AC=AB+BC \), puisque B est entre A et C : \( 3+4=7 \) et \( 2+5=7 \).

Questions flash.

• a. \( d(3\,;4)=|3-4|=|-1|=1 \)
• b. \( d(-3\,;4)=|-3-4|=|-7|=7 \)
• c. \( d(0\,;-5)=|0-(-5)|=5 \)
• d. \( d(-7\,;-6)=|-7-(-6)|=|-1|=1 \)
• e. \( d(-5\,;-5)=0 \)
• f. \( d(-5\,;2)=|-5-2|=|-7|=7 \)

On interprète \( |x-a| \) comme la distance entre x et a sur la droite graduée. Ensuite, pour \( r \gt 0 \) :

• \( |x-a|\leqslant r \iff a-r\leqslant x\leqslant a+r \) : \(x\) est dans l’intervalle centré en a de rayon r ;
• \( |x-a|\geqslant r \iff x\leqslant a-r \) ou \( x\geqslant a+r \) : \(x\) est à l’extérieur de cet intervalle.

Attention : \( |x+3|=|x-(-3)| \), c’est la distance entre \(x\) et −3.

Première série

• a. \( |x-1|\geqslant 2 \) : distance à 1 au moins 2, donc \( x\leqslant -1 \) ou \( x\geqslant 3 \). \( S=]-\infty\,;\,-1]\cup[3\,;\,+\infty[ \).
• b. \( |x+3|\geqslant 4 \) : distance à −3 au moins 4, donc \( x\leqslant -7 \) ou \( x\geqslant 1 \). \( S=]-\infty\,;\,-7]\cup[1\,;\,+\infty[ \).

Deuxième série

• a. \( |x-2|\leqslant 5 \iff 2-5\leqslant x\leqslant 2+5 \). \( S=[-3\,;\,7] \).
• b. \( |x-5|\leqslant 1 \iff 4\leqslant x\leqslant 6 \). \( S=[4\,;\,6] \).
• c. On isole d’abord la valeur absolue : \( |x+1{,}5|+2{,}5 \lt 6 \iff |x+1{,}5| \lt 3{,}5 \). C’est la distance à −1,5 strictement inférieure à 3,5 : \( -1{,}5-3{,}5 \lt x \lt -1{,}5+3{,}5 \), soit \( -5 \lt x \lt 2 \). \( S=]-5\,;\,2[ \).
• d. \( |x-\sqrt{3}| \lt \sqrt{3} \iff \sqrt{3}-\sqrt{3} \lt x \lt \sqrt{3}+\sqrt{3} \). \( S=]0\,;\,2\sqrt{3}[ \).

Troisième série

• a. \( |x-4|\leqslant 7 \iff -3\leqslant x\leqslant 11 \). \( S=[-3\,;\,11] \).
• b. \( \left|x-\frac{1}{2}\right| \gt 3 \iff x \lt \frac{1}{2}-3 \) ou \( x \gt \frac{1}{2}+3 \). \( S=\left]-\infty\,;\,-\frac{5}{2}\right[\cup\left]\frac{7}{2}\,;\,+\infty\right[ \).
• c. \( |x-2|\geqslant \sqrt{3} \iff x\leqslant 2-\sqrt{3} \) ou \( x\geqslant 2+\sqrt{3} \). \( S=]-\infty\,;\,2-\sqrt{3}]\cup[2+\sqrt{3}\,;\,+\infty[ \) (environ 0,27 et 3,73).
• d. \( |x+\pi| \lt 5 \) : distance à \(-\pi\) strictement inférieure à 5, donc \( -\pi-5 \lt x \lt -\pi+5 \). \( S=]-5-\pi\,;\,5-\pi[ \) (environ \( ]-8{,}14\,;\,1{,}86[ \)).